Rio arriba y río abajo en piragua

Alejandro Drago en acción

Una piragua tarda 5 horas cuando el remero va a favor de la corriente para ir de la ciudad A a la B. Cuando vuelve, remando con igual intensidad y sin que haya variado la corriente del río, tarda 7 horas. ¿Cuánto tardaría la piragua de A a B, si dejáramos que fuese a merced de la corriente?

La chica de Bolzano

Tres Cimas de Lavaredo, Dolomitas, cerca de Bolzano

Una chica sale de su casa a las 10 de la mañana y va a la casa de sus abuelos a dormir. Al día siguiente sale de casa de sus abuelos a las 10 de la mañana y regresa por el mismo camino a su casa. Demostrar, usando el Teorema de Bolzano, que existe algún sitio en el trayecto por donde pasa exactamente a la misma hora los dos días.

Una cebra y un cocodrilo

Este es un problema de la Scottish Qualifications Authority para acceder a la carrera de Matemáticas, algo así como el examen de selectividad, pero sólo para los que van a hacer Matemáticas.
Al parecer el examen fue más difícil de los esperado por los alumnos y bajaron la nota de corte hasta  3.4 sobre 10 ¡Ay, esta juventud escocesa!
Este problema en concreto no parece tan difícil, intentadlo y dejad vuestras impresiones en los comentarios.

Examen SQA 2015

El examen completo lo tenéis aquí, podéis verlo y hacerlo.



Solución de Mónica:

Y ahora, camellos.

Beduino en un dromedario

Se cuenta que un rico e inteligente comerciante árabe debía transportar mercancía a otra ciudad situada a 50 leguas. Para ello disponía de camellos que podían cargar hasta 100 kg de carga. Pero tenían un pequeño problema, estos animales para avanzar necesitaban ir consumiendo continuamente la carga que transportaban, a razón de un kg por legua.

¿Será capaz el inteligente comerciante de encontrar alguna manera de hacer llegar alguna cantidad de carga a la otra ciudad?

Si existiese esa manera, hallar la máxima carga de una cantidad dada que podría transportar a la otra ciudad. 

Hale, dadle vueltas. Las soluciones en los comentarios

El maravilloso reloj astronómico de Praga

Cuadrante astronómico del reloj de Praga

Descripción del reloj

Elementos principales del reloj

El reloj astronómico de Praga se compone de dos grandes diales situados en la pared sur de la torre del ayuntamiento viejo de Praga. A un lado y sobre estos diales hay figuras animadas, que se mueven en las horas en punto, lo que da vistosidad al momento.

El dial superior es propiamente el reloj astronómico. Es la parte más antigua y más compleja. Fue construido en 1410 por el relojero Nicolás de Kadan y el profesor de Matemáticas y Astronomía de la universidad Carolina de Praga, Jan Sindel. 

Nótese que en 1410 aún faltan 130 años para que Copérnico propusiera su teoría heliocéntrica y 200 para que Galileo la confirme por medio del telescopio.

El dial inferior es un calendario y fue añadido posteriormente, hacia 1490.

El reloj ha sido reparado numerosas veces en sus más de 600 años de historia.

Reloj astronómico

El reloj está compuesto de un dial o esfera diferenciada en regiones, con varias líneas y graduaciones, sobre la que se superponen tres manecillas y una corona excéntrica.

Elementos del cuadrante astronómico del reloj

Esfera

La esfera del reloj está compuesta por un círculo fijo y una corona circular exterior que sirve para leer la hora antigua checa, que comienza cuando se pone el sol.
En el centro del círculo está representada la Tierra centrada en Praga. El polo Sur está hacia arriba, al contrario de lo que suele ser habitual. Sin embargo es la posición lógica, teniendo en cuenta que a las doce del mediodía el Sol se situará en la parte superior del reloj y por tanto será el Sur.

Rodeando la Tierra, el círculo fijo se divide por tres circunferencias concéntricas doradas.

• La interior se corresponde con el trópico de Capricornio. Es la posición que alcanzará el Sol (que se desplaza en su manecilla) en el solsticio de invierno, esto es, alrededor del 21 de diciembre.
• La media se corresponde con el Ecuador. El Sol la cruzará en los equinoccios de primavera y otoño, aproximadamente los días 20 o 21 de marzo y 22 o 23 de septiembre.
• La exterior se corresponde con el trópico de Cáncer. El Sol la alcanza en el solsticio de verano, hacia el 21 de junio.

La esfera  fija del reloj se divide también en tres zonas de distinto color.

• Una zona negra, para representar la noche cuando el Sol se sitúe sobre ella
• Otra zona ocre. El Sol la cruzará en la aurora y el crepúsculo
• Una zona azul, que señala el día, con un tono más intenso arriba (mediodía) que se degrada hacia abajo (horas de salida y puesta del Sol)

Esta última zona está dividida en doce sectores por líneas curvas radiales. Estas líneas indican un tipo de horas, llamadas temporarias o romanas, que son desiguales a lo largo del año, pues dividen la parte diurna del día (desde que sale hasta que se pone el Sol) en doce partes iguales, siendo mucho más largas en verano que en invierno.

Manecillas

El reloj tiene tres manecillas principales.

• La manecilla de las horas. Es la más importante. En su extremo, una mano dorada indica las horas. Un sol dorado, se desplaza por esta manecilla para representar la altura del Sol sobre el horizonte, según la época del año.
• La manecilla de la Luna, representada por una esfera plateada y negra. Señala la posición relativa de ésta respecto del Sol y de la Tierra. La luna también gira sobre si misma para simular su forma en el cielo en cada momento del ciclo lunar. Por último, la luna también se desplaza por la manecilla para indicar las horas de salida y puesta cada día.
• Manecilla de la estrella dorada. Es la que pasa más desapercibida. Sirve para indicar la hora sidérea. Esta manecilla gira solidaria con la corona excéntrica, a la que está unida entre los signos de Piscis y Aries, señalando el punto Aries o punto vernal (equinoccio de primavera)

Corona excéntrica

Esta corona circular está dividida en doce regiones con los signos del zodiaco. La posición del sol dorado sobre ella indica en qué constelación se encuentra a lo largo del año.  Cada signo del zodiaco se divide a su vez en seis sectores para mayor precisión.

Qué indica el reloj y cómo se lee

Manecilla de las horas

Hora civil de Praga.

Corresponde a la hora central europea (CET). En el horario de verano no se cambia, de modo que hay que sumarle una hora a la lectura para obtener la hora CET.
La mano dorada señala esta hora en el dial de números romanos, graduado dos veces de I a XII. El mediodía está arriba. No hay minutero, tan solo esta manecilla señala la hora, por lo que hay que estimar su valor, pero el error no será mayor de diez minutos con un poco de práctica

Hora antigua checa.

En este caso el día también se divide en 24 horas, pero las horas se comienzan a contar desde la puesta de sol. Como este evento va cambiando a lo largo del año, la corona circular exterior va girando para adaptarse al cambio.
La lectura de la hora se hace en esta corona más externa mediante la mano dorada. Está graduada desde 1 a 24 con caligrafía gótica
Nótese que si utilizamos el número 24, de esta corona externa, como indicador; podemos leer en la banda de las horas XII+XII, la hora exacta de la puesta de sol. Por simetría, respecto de las 12 de la noche podríamos saber fácilmente también la hora de salida del sol.

Hora temporaria o romana antigua

En este caso el día se mide desde que sale el sol hasta que se pone y se divide en doce horas iguales. Su duración varía mucho a lo largo del año en Praga, desde 7 horas y 49 minutos el 21 de diciembre, hasta 16 horas y 22 minutos el 21 de junio.
Esta hora viene señalada por el sol dorado sobre las curvas radiales de la esfera. Solo se indican las horas diurnas
Más información: http://es.wikipedia.org/wiki/Hora_temporaria
Crepúsculo
El sol dorado también señala a lo largo del año los periodos crepusculares, donde hay luz, aunque el sol esté oculto.
En la esfera son las zonas de color ocre nombradas como AURORA y CREPUSCULUM

Fecha del año

Signos del zodiaco y fechas donde se encuentran

Los signos del zodiaco están representados en la corona circular excéntrica.
La manecilla de las horas, señala en esta corona el signo del zodiaco y por tanto la fecha aproximada del año.
Cada signo está dividido en seis partes por unos segmentos dorados en el exterior. Como cada signo dura aproximadamente 30 días, cada división equivale a unos cinco días.
Para conocer la fecha del año hay que saber la fecha de inicio  de cada signo del zodiaco y por supuesto conocer sus símbolos. Esta tabla nos puede ayudar

Nótese que estas fechas no se corresponden con los límites reales actuales de la posición del sol en las constelaciones zodiacales. Vea http://es.wikipedia.org/wiki/Zodiaco

Manecilla de la luna

La pequeña esfera negra y plateada representa la Luna. Esta pequeña esfera gira alrededor de la Tierra, como el sol dorado, pero también gira sobre si misma y se desplaza en su manecilla hacia dentro y hacia fuera.
La Luna cambia de fase cada 29,5 días aproximadamente. En el reloj, la luna gira acompañando al sol a lo largo del día, pero su movimiento es un poco más lento, lo que origina que se vaya separando angularmente del sol, hasta que ambos se encuentran de nuevo y comienza un nuevo ciclo.

Fase de la Luna

Esto está indicado de dos maneras:

1. La propia luna es una esfera plateada en una mitad y negra en la otra mitad. La esfera va girando a lo largo del ciclo lunar para mostrar aproximadamente la parte iluminada por el sol
2. El ángulo que forman las manecillas del sol y la luna indican la fases lunares:

• 90 º  Cuarto creciente
• 180º Luna llena
• 270º Cuarto menguante
• 0º     Luna nueva

Es necesario medir el ángulo en sentido antihorario desde el sol a la luna

Edad de la Luna

La edad de la luna mide los días que han transcurrido desde la última luna nueva. Una forma aproximada de conocerla, es medir el ángulo como se dijo antes y dividir el resultado entre doce.
Hora de salida y puesta de la Luna en Praga
Cuando la luna corta a la línea del orto (ORTUS) o del ocaso (OCASUS) está saliendo o se está poniendo en Praga. Tan solo hace falta leer la hora en ese momento en la manecilla de las horas.

Manecilla de la estrella

Esta pequeña manecilla pasa generalmente desapercibida  y la estrellita parece un adorno del reloj. Sin embargo es una manecilla que gira de modo independiente y señala la hora sidérea. Esta hora se lee en el dial de los números romanos, pero se comienza a contar desde la parte superior. Es decir, las doce del mediodía sidéreo estarán abajo y el nuevo día sidéreo comienza cuando la estrella está en lo alto del dial.
La hora sidérea mide el tiempo que tarda la Tierra en girar sobre si misma tomando como referencia una estrella lejana, en vez de el Sol. El día sidéreo dura unos cuatro minutos menos que el día solar.

Más información: http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo_sid%C3%A9reo

Ejemplo de lectura

La imagen corresponde al día 21 de marzo de 2015, a las 18:17 horas

Ejemplo de lectura del reloj

Calendario

El dial inferior del reloj es un calendario que indica los meses mediante doce ilustraciones circulares, el día del mes y el santo del día. Estos datos se señalan por una pequeña aguja en la parte superior del dial.

Elementos del calendario del reloj astronómico de Praga

También existen otras ilustraciones alusivas a los signos del zodiaco, más pequeñas que las de los meses. Están colocadas en los mismos sectores que los meses, en lugar de estar ligeramente desplazadas, ya que los signos comienzan alrededor del 21 de cada mes. Son, por tanto, meros adornos del calendario.

Los conejos en Australia y los conejos de Fibonacci

LOS CONEJOS EN AUSTRALIA: 

El conejo común europeo no es una especie nativa de Australia. En este continente no existían los conejos hasta 1859, en que Thomas Austin, un propietario de amplios terrenos en Australia, trasladó 6 parejas desde Inglaterra para disponer de piezas de caza en sus fincas.
No pensó que esta especie, al no ser autóctona, no tendría depredadores naturales en su nuevo hábitat. Esto, unido a la gran capacidad reproductiva de estos animales, hizo que se multiplicaran de forma explosiva.
Seis años después, en 1865 Mr. Austin calculaba que había cazado unos 20.000 y que aún quedaban en sus tierras otros tantos.

Además, los conejos habían sobrepasado las vallas de sus propiedades, saltando o excavando galerías. Hacia 1887, solamente en la provincia de Nueva Gales del Sur, donde originariamente habían sido importados, había unos 20 millones de conejos. 

Unos años más tarde, a causa de la gran expansión de la población de conejos, Australia se estaba quedando sin vegetación, lo que suponía un grave problema para la economía del país, apoyada mayoritariamente en el ganado ovino; además de las pérdidas que estaban sufriendo los ecosistemas australianos. Entonces, se adoptó una solución que consistía en liberar mosquitos vectores del virus de la mixomatosis (enfermedad mortal para el conejo europeo). En poco tiempo, el número de conejos disminuyó drásticamente, y se comenzaron a recuperar los pastos para la ganadería y otras especies que casi rozaban la extinción.

Sin embargo, no toda la población desapareció, ya que algunos lograron sobrevivir a la enfermedad, desarrollando una resistencia que transmitían a sus descendientes.

Conejos alrededor de un punto de agua en un ensayo con mixomatosis en Australia.

LOS CONEJOS DE FIBONACCI:

Fibonacci, respecto al tema de la reproducción de los conejos, se planteó lo siguiente: 

1.  Suponemos que en un huerto cerrado tenemos una pareja de conejos (macho y hembra) de un mes de edad que aún no pueden reproducirse, pero que podrán hacerlo al segundo mes de edad.
2. Suponemos también que el periodo de gestación es de un mes, y que cada mes, a partir del segundo, cada pareja de conejos siempre dará lugar a otra nueva pareja de conejos (macho y hembra).
3. Si cada pareja de conejos resultante sigue el mismo proceso de gestación y reproducción que la primera pareja, y si suponemos que no mueren, ¿Cúantas parejas habrá cada mes? ¿Y al año?

Tenemos, entonces, la pareja inmadura que al segundo mes será capaz de dar lugar a otra pareja de conejos. Pasa el siguiente mes y procrea la nueva pareja, y cada pareja se vuelve capaz de reproducirse.

Como la primera pareja tiene descendencia en el segundo mes, dobla el número, y en el tercer mes, se tienen dos parejas. De éstas, la primera pareja también tiene descendencia en el mes siguiente, de manera que en el cuarto mes ya hay tres parejas. De estas, dos tienen descendencia en el mes siguiente, de modo que en el quinto mes han nacido dos parejas más, y ahora el número de parejas es de cinco. 

En este mes tres de esas cinco parejas tienen hijos, y en el sexto mes el número de parejas es de ocho. Cinco de estas parejas dan lugar a otras cinco, habiendo, junto con las ya existentes, 13 parejas en el séptimo mes. Cinco de estas parejas, aún inmaduras, no tienen descendencia este mes, pero las otras ocho dan lugar a otras ocho parejas, teniendo por tanto 21 parejas en el mes octavo, como se puede ver en la gráfica.

La fórmula es la siguiente:     

En el conflicto de los conejos en Australia encontrábamos que entre los años 1859 y 1887 el número de conejos llegaba a unos 20 millones, sin tener en cuenta los que habían sido cazados. Aplicando la sucesión de Fibonacci, y habiendo transcurrido 28 años, es decir, 336 meses, el término sería…

Se puede calcular el término 336 desarrollando las 336 iteraciones mediante una hoja de cálculo (tipo Excel) , o bien utilizando una fórmula explícita de la sucesión, como es: 

Considerando f(0)= 0 y f(1)=1, f(336) será igual a 7,42 x 10^69. Comparando este número con los 20 millones de conejos que llegó a haber en Australia (2x10^7), nos damos cuenta de que los conejos europeos se reproducían mucho más despacio que los de Fibonacci.

 

Botellones de agua

En la sala de profesores pusieron hace un par de cursos un surtidor de agua. Es el que se ve en la foto de la derecha.
Los botellones que usa tienen una capacidad rara, de 18,9 l. Se trata de que averigüeis por qué.