Rio arriba y río abajo en piragua

Alejandro Drago en acción

Una piragua tarda 5 horas cuando el remero va a favor de la corriente para ir de la ciudad A a la B. Cuando vuelve, remando con igual intensidad y sin que haya variado la corriente del río, tarda 7 horas. ¿Cuánto tardaría la piragua de A a B, si dejáramos que fuese a merced de la corriente?

Una cebra y un cocodrilo

Este es un problema de la Scottish Qualifications Authority para acceder a la carrera de Matemáticas, algo así como el examen de selectividad, pero sólo para los que van a hacer Matemáticas.
Al parecer el examen fue más difícil de los esperado por los alumnos y bajaron la nota de corte hasta  3.4 sobre 10 ¡Ay, esta juventud escocesa!
Este problema en concreto no parece tan difícil, intentadlo y dejad vuestras impresiones en los comentarios.

Examen SQA 2015

El examen completo lo tenéis aquí, podéis verlo y hacerlo.



Solución de Mónica:

Y ahora, camellos.

Beduino en un dromedario

Se cuenta que un rico e inteligente comerciante árabe debía transportar mercancía a otra ciudad situada a 50 leguas. Para ello disponía de camellos que podían cargar hasta 100 kg de carga. Pero tenían un pequeño problema, estos animales para avanzar necesitaban ir consumiendo continuamente la carga que transportaban, a razón de un kg por legua.

¿Será capaz el inteligente comerciante de encontrar alguna manera de hacer llegar alguna cantidad de carga a la otra ciudad?

Si existiese esa manera, hallar la máxima carga de una cantidad dada que podría transportar a la otra ciudad. 

Hale, dadle vueltas. Las soluciones en los comentarios

El maravilloso reloj astronómico de Praga

Cuadrante astronómico del reloj de Praga

Descripción del reloj

Elementos principales del reloj

El reloj astronómico de Praga se compone de dos grandes diales situados en la pared sur de la torre del ayuntamiento viejo de Praga. A un lado y sobre estos diales hay figuras animadas, que se mueven en las horas en punto, lo que da vistosidad al momento.

El dial superior es propiamente el reloj astronómico. Es la parte más antigua y más compleja. Fue construido en 1410 por el relojero Nicolás de Kadan y el profesor de Matemáticas y Astronomía de la universidad Carolina de Praga, Jan Sindel. 

Nótese que en 1410 aún faltan 130 años para que Copérnico propusiera su teoría heliocéntrica y 200 para que Galileo la confirme por medio del telescopio.

El dial inferior es un calendario y fue añadido posteriormente, hacia 1490.

El reloj ha sido reparado numerosas veces en sus más de 600 años de historia.

Reloj astronómico

El reloj está compuesto de un dial o esfera diferenciada en regiones, con varias líneas y graduaciones, sobre la que se superponen tres manecillas y una corona excéntrica.

Elementos del cuadrante astronómico del reloj

Esfera

La esfera del reloj está compuesta por un círculo fijo y una corona circular exterior que sirve para leer la hora antigua checa, que comienza cuando se pone el sol.
En el centro del círculo está representada la Tierra centrada en Praga. El polo Sur está hacia arriba, al contrario de lo que suele ser habitual. Sin embargo es la posición lógica, teniendo en cuenta que a las doce del mediodía el Sol se situará en la parte superior del reloj y por tanto será el Sur.

Rodeando la Tierra, el círculo fijo se divide por tres circunferencias concéntricas doradas.

• La interior se corresponde con el trópico de Capricornio. Es la posición que alcanzará el Sol (que se desplaza en su manecilla) en el solsticio de invierno, esto es, alrededor del 21 de diciembre.
• La media se corresponde con el Ecuador. El Sol la cruzará en los equinoccios de primavera y otoño, aproximadamente los días 20 o 21 de marzo y 22 o 23 de septiembre.
• La exterior se corresponde con el trópico de Cáncer. El Sol la alcanza en el solsticio de verano, hacia el 21 de junio.

La esfera  fija del reloj se divide también en tres zonas de distinto color.

• Una zona negra, para representar la noche cuando el Sol se sitúe sobre ella
• Otra zona ocre. El Sol la cruzará en la aurora y el crepúsculo
• Una zona azul, que señala el día, con un tono más intenso arriba (mediodía) que se degrada hacia abajo (horas de salida y puesta del Sol)

Esta última zona está dividida en doce sectores por líneas curvas radiales. Estas líneas indican un tipo de horas, llamadas temporarias o romanas, que son desiguales a lo largo del año, pues dividen la parte diurna del día (desde que sale hasta que se pone el Sol) en doce partes iguales, siendo mucho más largas en verano que en invierno.

Manecillas

El reloj tiene tres manecillas principales.

• La manecilla de las horas. Es la más importante. En su extremo, una mano dorada indica las horas. Un sol dorado, se desplaza por esta manecilla para representar la altura del Sol sobre el horizonte, según la época del año.
• La manecilla de la Luna, representada por una esfera plateada y negra. Señala la posición relativa de ésta respecto del Sol y de la Tierra. La luna también gira sobre si misma para simular su forma en el cielo en cada momento del ciclo lunar. Por último, la luna también se desplaza por la manecilla para indicar las horas de salida y puesta cada día.
• Manecilla de la estrella dorada. Es la que pasa más desapercibida. Sirve para indicar la hora sidérea. Esta manecilla gira solidaria con la corona excéntrica, a la que está unida entre los signos de Piscis y Aries, señalando el punto Aries o punto vernal (equinoccio de primavera)

Corona excéntrica

Esta corona circular está dividida en doce regiones con los signos del zodiaco. La posición del sol dorado sobre ella indica en qué constelación se encuentra a lo largo del año.  Cada signo del zodiaco se divide a su vez en seis sectores para mayor precisión.

Qué indica el reloj y cómo se lee

Manecilla de las horas

Hora civil de Praga.

Corresponde a la hora central europea (CET). En el horario de verano no se cambia, de modo que hay que sumarle una hora a la lectura para obtener la hora CET.
La mano dorada señala esta hora en el dial de números romanos, graduado dos veces de I a XII. El mediodía está arriba. No hay minutero, tan solo esta manecilla señala la hora, por lo que hay que estimar su valor, pero el error no será mayor de diez minutos con un poco de práctica

Hora antigua checa.

En este caso el día también se divide en 24 horas, pero las horas se comienzan a contar desde la puesta de sol. Como este evento va cambiando a lo largo del año, la corona circular exterior va girando para adaptarse al cambio.
La lectura de la hora se hace en esta corona más externa mediante la mano dorada. Está graduada desde 1 a 24 con caligrafía gótica
Nótese que si utilizamos el número 24, de esta corona externa, como indicador; podemos leer en la banda de las horas XII+XII, la hora exacta de la puesta de sol. Por simetría, respecto de las 12 de la noche podríamos saber fácilmente también la hora de salida del sol.

Hora temporaria o romana antigua

En este caso el día se mide desde que sale el sol hasta que se pone y se divide en doce horas iguales. Su duración varía mucho a lo largo del año en Praga, desde 7 horas y 49 minutos el 21 de diciembre, hasta 16 horas y 22 minutos el 21 de junio.
Esta hora viene señalada por el sol dorado sobre las curvas radiales de la esfera. Solo se indican las horas diurnas
Más información: http://es.wikipedia.org/wiki/Hora_temporaria
Crepúsculo
El sol dorado también señala a lo largo del año los periodos crepusculares, donde hay luz, aunque el sol esté oculto.
En la esfera son las zonas de color ocre nombradas como AURORA y CREPUSCULUM

Fecha del año

Signos del zodiaco y fechas donde se encuentran

Los signos del zodiaco están representados en la corona circular excéntrica.
La manecilla de las horas, señala en esta corona el signo del zodiaco y por tanto la fecha aproximada del año.
Cada signo está dividido en seis partes por unos segmentos dorados en el exterior. Como cada signo dura aproximadamente 30 días, cada división equivale a unos cinco días.
Para conocer la fecha del año hay que saber la fecha de inicio  de cada signo del zodiaco y por supuesto conocer sus símbolos. Esta tabla nos puede ayudar

Nótese que estas fechas no se corresponden con los límites reales actuales de la posición del sol en las constelaciones zodiacales. Vea http://es.wikipedia.org/wiki/Zodiaco

Manecilla de la luna

La pequeña esfera negra y plateada representa la Luna. Esta pequeña esfera gira alrededor de la Tierra, como el sol dorado, pero también gira sobre si misma y se desplaza en su manecilla hacia dentro y hacia fuera.
La Luna cambia de fase cada 29,5 días aproximadamente. En el reloj, la luna gira acompañando al sol a lo largo del día, pero su movimiento es un poco más lento, lo que origina que se vaya separando angularmente del sol, hasta que ambos se encuentran de nuevo y comienza un nuevo ciclo.

Fase de la Luna

Esto está indicado de dos maneras:

1. La propia luna es una esfera plateada en una mitad y negra en la otra mitad. La esfera va girando a lo largo del ciclo lunar para mostrar aproximadamente la parte iluminada por el sol
2. El ángulo que forman las manecillas del sol y la luna indican la fases lunares:

• 90 º  Cuarto creciente
• 180º Luna llena
• 270º Cuarto menguante
• 0º     Luna nueva

Es necesario medir el ángulo en sentido antihorario desde el sol a la luna

Edad de la Luna

La edad de la luna mide los días que han transcurrido desde la última luna nueva. Una forma aproximada de conocerla, es medir el ángulo como se dijo antes y dividir el resultado entre doce.
Hora de salida y puesta de la Luna en Praga
Cuando la luna corta a la línea del orto (ORTUS) o del ocaso (OCASUS) está saliendo o se está poniendo en Praga. Tan solo hace falta leer la hora en ese momento en la manecilla de las horas.

Manecilla de la estrella

Esta pequeña manecilla pasa generalmente desapercibida  y la estrellita parece un adorno del reloj. Sin embargo es una manecilla que gira de modo independiente y señala la hora sidérea. Esta hora se lee en el dial de los números romanos, pero se comienza a contar desde la parte superior. Es decir, las doce del mediodía sidéreo estarán abajo y el nuevo día sidéreo comienza cuando la estrella está en lo alto del dial.
La hora sidérea mide el tiempo que tarda la Tierra en girar sobre si misma tomando como referencia una estrella lejana, en vez de el Sol. El día sidéreo dura unos cuatro minutos menos que el día solar.

Más información: http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo_sid%C3%A9reo

Ejemplo de lectura

La imagen corresponde al día 21 de marzo de 2015, a las 18:17 horas

Ejemplo de lectura del reloj

Calendario

El dial inferior del reloj es un calendario que indica los meses mediante doce ilustraciones circulares, el día del mes y el santo del día. Estos datos se señalan por una pequeña aguja en la parte superior del dial.

Elementos del calendario del reloj astronómico de Praga

También existen otras ilustraciones alusivas a los signos del zodiaco, más pequeñas que las de los meses. Están colocadas en los mismos sectores que los meses, en lugar de estar ligeramente desplazadas, ya que los signos comienzan alrededor del 21 de cada mes. Son, por tanto, meros adornos del calendario.

Sistema de numeración Babilónico

Sistema de numeración babilónico from aba

Qué bonita es la nieve

Nieve en León

Esta semana ha nevado en León varios veces, así que vamos a proponer un problema relacionado con la nieve.

Se trata de estimar cuántos copos de nieve han caído en la ciudad de León si la capa ha alcanzado 10 cm de espesor.

Lo más importante es el procedimiento que empleéis para calcularlo, que debe ser lo más preciso posible.

 Edito la entrada después del comentario de Guillermo

Superficie de la ciudad de León.

No se encuentra fácilmente la superficie de la ciudad de León en internet. Suele venir la superficie de todo el municipio (unos 39 Km²). En cambio se puede medir fácilmente con una herramienta que proporciona Iberpix, como se ve en la imagen de al lado.
Con esa herramienta se ve que la superficie de la ciudad de León es de unos 12 Km² o 12*10⁶ m²

Cantidad de agua equivalente a 10 cm de nieve:

Se encuentra fácilmente que la densidad de la nieve recién caída es de 80 a 100 kg/m³, es decir aproximadamente un 10% es agua, de modo que que 10 cm de nieve equivalen a 1 cm de agua

Cuánta agua hay en un copo de nieve

Tampoco es fácil encontrar este dato y por otro lado los tamaños de los copos varían mucho. He encontrado referencias entre 3 y 20 mg

Referencias:
3 mg (alrededor de 100 cristales de nieve)
http://hypertextbook.com/facts/2001/JudyMoy.shtml

20 mg
http://archimedesnotebook.blogspot.com.es/2011/01/how-much-does-snowflake-weigh.html

Cálculos

Cantidad de agua caída en la ciudad de León con 10 cm de nieve:

Volumen de agua caída: 12*10⁶ m²*0,01m=12*10⁴ m³ = 12*10⁷ litros

cuya masa es de 12*10⁷ kg = 12*10¹⁰ g = 12*10¹³ mg

que dividido por la masa de un copo nos da:

copos pequeños: 12*10¹³ mg : 3 mg = 4*10¹³, es decir 40 billones
copos grandes: 12*10¹³ mg : 20 mg = 6*10¹², es decir 6 billones

Guillermo ha dado 20 billones, así que la respuesta es excelente y en todo caso del mismo orden de magnitud

Matemáticas insospechadas en la moda

Las Matemáticas están por todos lados y si no os lo creéis observad esta foto y fijaos bien. La chica es la actriz Allison Williams en los premios Golden Globe Awards de este año. Como veis lleva un vestido muy bonito de Versace.

Bien, la pregunta es ¿qué hay de Matemático en la foto?

Pista: es algo inequívocamente matemático con curiosas propiedades.
(Podéis dejar la solución en los comentarios)

Allison Williams

Allison Williams

Por qué estudiar Matemáticas

El experto

The expert

Historias divertidas

Hojas de cerezo

Mis fantásticos alumnos de 1º de Bachillerato han decidido, quizás algo forzadamente, publicar algunas entradas en este blog, como complemento de la clase de Matemáticas.
Ya tenemos asignados algunos temas, como por ejemplo:

• Los conejos de Fibonacci y los conejos en Australia
• Explosiones demográficas de los lemmings
• Estafas piramidales (el crecimiento exponencial es insostenible)

La idea es que a lo largo del curso vayamos publicando entradas relacionadas con algo surgido en clase de Matemáticas.